Формулы для решения уравнений 4-й степени

[Rusalka]

очень нужны формулы для решения уравнений 4-й степени, желательно с пояснениями для... окончивших ПСТГУ. Кто-нибудь может выложить?

[Dmitry]

Каких уравнений? Уж не дифференциальных ли?

Или обычных уравнений 4-й степени с одним неизвестным? Вроде x^4-7x^3+25x^2-9x+87=0?

Таких формул нет, есть способ свести их к уравнениям третьей степени, формула для которых занимает целую строку.

Может быть, нужны какие-то частные случаи?

[Rusalka]

Нет, не диф, обычных. Расскажите, пожалуйста, как свести и как потом решить это самое уравнение третьей степени, а то поиск не помог - я там не понимаю ничего. Вот исходное: x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 2x - 1 = 0. Чтоб не засорять форум, можно на мыльце: [/email]

[Dmitry]

Я, конечно, постараюсь вспомнить как это делается, но, насколько я помню, то самое "как свести" - это не для окончивших ПСТГУ.

Нужно именно решение? Примерных ответов (с любой наперед заданной точностью) недостаточно? А то есть много разных математических пакетов, которые умеют уравнения решать.

[Rusalka]

нет, через maple не подходит. Мне это сдавать весной надо и контрольную защищать.

[Dmitry]

Я решил, что, раз этот раздел не очень-то популярен, можно не пользоваться почтой, а прямо тут писать. Тем более, может, кто меня поправит или дополнит.

Первый шаг при решении уравнений 4-й степени - свести его к уравнению с нулевым коэффициентом при x^3. Это делается заменой x=y-a/4, где a - имеющийся коэф. при x^3.

В нашем случае замена x=y+1 приводит к уравнению y^4-3y^2+1=0, которое (ура!) оказалось биквадратным. Это, конечно, редкий случай.

Как решается биквадратное уравнение не надо объяснять? Это школьный курс. В общем, если не ошибаюсь, получится 4 действительных корня.

[Rusalka]

Спасибо большое! А эта подстановка стандартная для всех уравнений? Что она дает, если биквадратное не получается?

Вот еще одно задание, которое повергает меня в ступор:
решить систему уравнений, используя теорию определителей.
x^2 -  y^2 - 3 = 0
x^2 + xy - y - 3 = 0

[Dmitry]

Rusalka :
Спасибо большое! А эта подстановка стандартная для всех уравнений? Что она дает, если биквадратное не получается?

Да, стандартная. Полученное уравнение затем сводится к кубическому.

[Rusalka]

а как потом кубическое решить?

[Редактор]

Есть формула Кардано для нахождения корней уравнения третьей степени.

[Dmitry]

Для кубического действительно формула Кардано есть. Но самое интересное, это переход от 4-й степени к 3-й. Вам надо знать, как это делается?

Rusalka :
решить систему уравнений, используя теорию определителей.
x^2 -  y^2 - 3 = 0
x^2 + xy - y - 3 = 0

Честно говоря, я не помню ничего про решение нелинейных систем с помощью определителей. Может, кто еще подскажет?

Русалка, а где вам это все задают?

[Rusalka]

Хотелось бы знать. Мне экзамен сдать надо. Дело в том, что я пошла на второе высшее образование "Учет и аудит", заочно, там вышка в программе, а препод не объяснил ничего, кроме метода подстановки при решении систем линейных уравнений. А транспортную задачу и задачи на оптимизацию Вы знаете, как решать?

[Dmitry]

Транспортная задача - это не сложно, но я не помню. Надо посмотреть. А вы не пробовали в инете поискать?

Что подразумевается под задачей оптимизацией, я не знаю.

[Rusalka]

Симплекс-метод. У меня даже книжка есть, где он разбирается, но я не понимаю, как они там заменяют строки и столбцы.

[Dmitry]

Симплекс-метод --- это тоже несложно. Мы это когда-то делали на военной кафедре. Но, опять же, это надо вспоминать.